Dans tout le chapitre 5, I désignera un intervalle fermé (ou segment) de .
Définition (primitive sur un intervalle) :
Soit une fonction . On dit que est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I, et si .
Proposition (primitives d’une même fonction) :
Soit une fonction admettant une primitive F sur I. La fonction est aussi une primitive de f sur I si et seulement si il existe une constante telle que , .
Remarque : Une fonction ne peut pas avoir une seule primitive ; il est donc « interdit » de parler de la primitive d’une fonction.
Conséquence (primitive prenant une valeur donnée en un point) :
Soit une fonction admettant une primitive F sur I. Soient et .
Il n’existe qu’une seule primitive G de f telle que ; elle est donnée par .
En particulier, est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en .
Remarque : La formule peut paraître troublante…en effet, H est une fonction bien définie et F est une quelconque des primitives de f : quel que soit le choix de F, H reste inchangée.
Théorème fondamental :
Si est une fonction continue, alors elle admet une primitive (donc une infinité).
Le formulaire des primitives vous propose une liste de primitives des fonctions usuelles, qu’il est impératif de connaître par cœur.
? Nous allons voir dans la suite que la plupart des théorèmes que nous avons démontré pour la dérivation (chapitre 3) fournissent des théorèmes sur les primitives.
Nous avons vu que si f et g sont dérivables sur I, alors la fonction est dérivable sur I avec (cf. chapitre 3, § 4.1).
Il en découle la proposition suivante :
Proposition :
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et admettant des primitives. Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors, , la fonction est une primitive sur I de la fonction .
Cette proposition découle directement des propriétés de dérivation d’une somme de fonctions et du produit d’une réel par une fonction (Chapitre 3, § 4.1).
Nous avons également vu au chapitre 3 ( § 4.3) que si u est dérivable sur I et G dérivable sur J, alors est dérivable sur I et que , .
La proposition suivante découle donc directement du théorème de dérivation des fonctions composées :
Proposition :
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie sur intervalle J tel que , .
Si g admet une primitive G sur J, alors une primitive sur I de la fonction définie par est la fonction F définie par .
Ce théorème, appliqué lorsque g est une fonction usuelle, permet de rechercher les primitives de nombreuses fonctions f dérivables sur I. Exemple 7.